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构造、转化、化解学生学习向量“懂而不会”的现象
 

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构造、转化、化解学生学习向量“懂而不会”的现象

数学教研组   齐兴发

由于向量是高一阶段才引入的新的概念,学生学习一段时间后,感觉学懂了,但是运用向量思考问题时,往往感到很困难,无从下手,从数方面想不好寻找突破口,从形方面考虑,有些关系运用不当,辅助线也不好作,经常陷入“懂而不会”的陷阱。只要教师引导学生从向量运算的实质出发,多角度观察与联想,从细微处入手,进行构造与转化,可化解此困境。

一、“无中生有”巧妙构造,化解“思维”难点。


向量与点P本无联系,但此处“无中生有”,  “生”出P点,利用向量加法的“首尾”顺次相接原理,而找到突破点。纵观本题的解法,主要是观察选择肢,所有向量均与P相关,故催“生”出P点而获解。

再如,已知P是△ABC所在平面内的一点,若,则点P一定在

A、△ABC的内部                        BAC边所在的直线上

CAB边所在的直线上               DBC边所在的直线上

析:观察已知等式左边与右边,右边向量中有P点,而左边没有P点(与P点看似无关)

若构造,亦是“无中生有”,

则原已知等式可化为进而知,由公共点PAPC三点共成,从而选出正确答案。

二、向量的很多运算律与多项式的运算法则有类似的方面,因此关于向量的一些运算可类比转化达到化解难点,简化运算的目的。

例若ABCD是平面内任意四点,则下列四个式子中正确的个数有(    

                

                

A1                   B2               C3               D4

析:本题若类比等式的运算,可以移项处理

则①等式成立

等式成立

其余可同等思维,获得答案。

法二:能否采用构造法“无中生有”?

如①亦可获解!其余同等思维

三、建立已知向量与未知向量之间的关系时,可结合几何图形,利用平面几何中的一些结论转化为相等向量,相反向量共线向量及比例关系,从而化解学生思维中的难点,解决“懂而不会”之瓶颈问题。

例:设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于(    

D

A       B      C        D

C

析:画出图形

A

B


方法1:由已知条件观察图形结合平行四边形的性质,知

  

D

方法2:认真读题,注意到O为平面内任意一点,这又是一个选择题,故选OA点,进行思考。

B

  亦可选出答案

例:如图所示,在△ABO中,

N

M

D

ADBC相交于点M,设,试用

O

A

表示,向量

本题有难度,解题思路不知以何入手,但如果有三点共线,则可将基底向量与其他向量联系,进行线性表示,可能要用AMD三点共线和CMB三点共线

1:通用方法

AMD三点共线知,设

故,

从而   

此时若能解出,则问题获解

再由,设

   

结合①、②两式得     解得

从而

2:几何方法,过DDNOABCN点,利用平行性,或三角形相似,知

          

,从而

所以

3:利用课本上P84,例3之结论,

ABC三点共线,则

AMDCMB各自三点共线可得

  

  

对比①、②得

     解得

把握向量运算的本质,巧妙转化,广泛联想,可突破思维瓶颈,从而有效解决“似懂非懂”“懂而不会”的学习困局。

 

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